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Cours du QEM2 et Master2 MAEF: MMMEF

 

 

Semestre 1

 

 

Enseignants A. Millet

 

 

E-mail amillet@univ-paris1.fr

 

 

Crédit ECTS: 6 ECTS

 

 

Evaluation: Examen final

 

 

Présentation: Le cours complète la présentation des outils fondamentaux de calcul stochastique utilisés dans la modélisation « classique » du cours des actifs sur les marchés financiers à temps continu. Le cours développera donc les notions de diffusion, brownien géométrique, changement de probabilité, probabilité risque neutre, le modèle de Black & Sholes généralisé et les processus de Bessel, applications au calcul de portefeuille de couverture.

 

 

Mots Clefs Processus d'Itô, brownien géométrique, théorème de Girsanov, formule de Feynman-Kac, modèle de Black & Sholes, portefeuille de couverture.

 

 

Plan prévisionnel Le cours comporte 9 séances de 2H et 9 séances de compléments de 2H. Les séances de cours sont réparties de la manière suivante:

 

 

- Séance 1: Seconde approche de la variation quadratique. Lien avec les martingales.

 

 

- Séances 2-3: Processus d'Itô de dimension quelconque et propriétés du brownien (Propriété de Markov, caractérisation de Lévy).

 

 

- Séances 4-5: Diffusions. Générateur infinitésimal, flot stochastique, formule de Feynman-Kac, première approche de la formule de Black & Sholes..

 

 

- Séances 6-7: Changement de probabilité : théorème de Girsanov, condition de Novikov, théorème de Benès, Application à des calculs d'espérance et deuxième approche de la formule de Black & Sholes. Théorème de représentation prévisible et existence de solutions faibles.

 

 

- Séances 8-10: Modélisation du marché financier en temps continu, stratégies. Absence d'opportunité d'arbitrage. Probabilité risque neutre. Prime de risque. Marché complet. Calcul de portefeuille de couverture. Modèle de Black & Sholes généralisé. Calculs des grecques. Processus de Bessel généraux et modèles de Cox-Ingersoll-Ross. Notions sur les équations différentielles stochastiques rétrogrades.

 

 

Bibliographie: Un cours polycopié sera distribué.

 

 

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