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Cours du QEM2 et Master2 MAEF: MMMEF

 

 

Semestre 1

 

 

Crédit ECTS: 3 ECTS

 

 

(Couplé avec le cours Mesure de risque de marché pour un total de 6 ECTS)

 

 

Enseignants: Olivier Bokanowski,

 

 

E-mail: boka@math.jussieu.fr

 

 

Evaluation:

 

 

La notation tient compte d'un examen écrit et d'un projet informatique à réaliser dans un language au choix (C++/Scilab/Matlab).

 

 

Présentation:

 

 

L'objectif de cet enseignement est de présenter les méthodes numériques de type différences finies pour la discrétisation des EDPs issues de la Finance: options européennes, options américaines et pour l'optimisation de portefeuille. Les cours magistraux sont suivis de TPs sur machine en language Scilab ou Matlab.

 

 

Mots Clefs:

 

 

Equation de Black et Scholes. Options américaines, in équation aux dérivées partielles. Problème d'obstacle. Equation d'Hamilton Jacobi Bellman. M ́ethodes des différences finies. Schémas implicites. Schémas monotones. Algorithme de Howard.

 

 

Plan prévisionnel:

 

 

- 1. Edp de Black et Scholes pour les options européennes; options asiatiques. Résultats d'unicité. Méthode des différences finies. Schémas d'Euler explicite, implicite et de Crank-Nicolson. Stabilité, condition CFL, convergence.

 

 

- 2. Edp pour les options américaines : inéquations aux dérivées partielles. Notion de solution de viscosité. Schémas aux différences finies: monotonie, convergence. Algorithmes : PSOR, Brennan et Schwartz, Newton, Projection.

 

 

- 3. Edp pour le contrˆole stochastique. Optimisation de portefeuille : probl`eme de Merton. Equation d'Hamilton-Jacobi-Bellman. Algorithme de HowardNewton.

 

 

Bibliographie:

 

 

P.Wilmott, S. Howison, J. Dewynne, The mathematics of financial derivatives, Cambridge University Press, 1998. (Document très accessible pour comprendre les modèles et les schémas aux diff ́erences finies de base)

Y. Achdou, O. Pironneau, Computational methods for option pricing, Frontiers in applied mathematics, Siam, 2005. (Document tr`es avancé tant sur le plan théorique que sur le plan numérique, abordant plusieurs type de méthodes déterministes et avec de nombreux scripts en C++)

H. Pham, Optimisation et contrôle stochastique appliqués à la finance, Springer-Verlag, 2007 (Pour en savoir plus sur les edps reliées à l'optimisation de portefeuille)

Y. Achdou, O. Bokanowski, T. Lelievre, PDE in finance, www.math.jussieu.fr boka/enseignement/pdefinance.pdf

(Un article de revue sommaire sur les edps en finance et les méthodes numériques utilisées)

 

 

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