Cours: A. Millet

 

 

Période: Trimestre 2

 

 

Nombre de crédits: 6

 

 

Volume horaire: 3 heures de cours sur 12 semaines

 

 

Evaluation: Examen final et projet informatique

 

 

Présentation: Le cours présentera d'une part des méthodes de simulation de variables aléatoires réelles ou vectorielles ainsi que des trajectoires de processus et d'autre part des méthodes de résolution de problèmes numériques (calcul d'intégrales, résolution d'EDP, ...) par la moyenne d'échantillons simulés ou par des chaînes de Markov.

 

 

L'objectif du cours est de comprendre l'analyse mathématique de ces algorithmes et de maîtriser leur programmation.

 

 

Programme :

 

 

* Générateurs de nombres pseudo-aléatoires et suites à discrépance faible.

 

 

* Simulation de lois classiques (méthodes d'inversion, de rejet, de composition ou mélange). Simulation de vecteurs aléatoires ; cas des vecteurs gaussiens.

 

 

* Simulation de processus : mouvement Brownien, schémas d'Euler et de Milshtein pour les diffusions, processus de Poisson.

 

 

* Méthode de Monte-Carlo pour les calculs d'espérance. Techniques de réduction de variance.

 

 

* Equations de Fokker-Planck, Feynman-Kac et problèmes de Dirichlet. Convergence faible des schémas.

 

 

* Méthodes de Monte-Carlo et chaînes de Markov. Convergence des chaînes vers les diffusions. Mesures stationnaires et réversibles. Algorithme de Metropolis. Algorithme du recuit simulé.Le complément de cours traitera des applications en finance. Il développera les méthodes de discrétisation efficaces pour les calculs de prix d'options, de sensibilités, ainsi que les techniques de réduction de variance et donnera diverses applications aux options exotiques (barrières, lookback, parisiennes...)

 

 

Des projets informatiques (valeur 3 ECTS) seront proposés dans le cadre de ce cours

 

 

Bibliographie :

 

 

* G.S. FISHMAN Monte-Carlo concepts algorithms and applications, Springer (1996).

 

 

* P.E. KLOEDEN et E. PLATEN Numerical solutions of stochastic differential equations, Springer (1992).

 

 

* B. LAPEYRE, E. PARDOUX et R. SENTIS Méthodes de Monte-Carlo pour les équations de transport et de diffusion, Springer (1998)