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Cours du QEM2 et Master2 MAEF: MMMEF

 

 

Semestre 2

 

 

Crédit ECTS: 3 ECTS

 

 

Enseignants: P.Tenkov

 

 

E-mail: tankov@math.jussieu.fr

 

 

Evaluation: Examen final

 

 

Présentation:

 

 

Les études théoriques et empiriques montrent que pour l' évaluation d'options et surtout pour la gestion de risques il est essentiel de prendre en compte la possibilit ́e d'un mouvement quasi-instantan ́e de grande amplitude (saut) dans le cours des actifs. Les processus de Lévy sont une classe de processus avec sauts à la fois assez riche pour d écrire la réalité des marchés et assez simple pour permettre un traitement rigoreux et des calculs explicites. Dans la première partie de ce cours, on donnera une introduction math ́ematique simplifiée aux processus de Lévy, aux mesures aléatoires de Poisson, qui sont les briques de construction de processus de Lévy, et aux bases du calcul stochastique pour les processus discontinus. Dans la deuxième partie, on se focalisera sur les applications financi`eres des processus de Lévy. On traitera non seulement la théorie d'évaluation d'options dans les modèles de Lévy, qui est déjà bien établie dans la litterature, mais également des sujets plus récents comme la gestion de risques avec des processus de Lévy et la calibration de modèles. Le cours s'appuyera essentiellement le livre [6]. Les étudiants d ésirant approfondir leurs connaissances pourront consulter les autres réferences de la liste.

 

 

Mots Clefs:

 

 

Processus de Lévy, processus avec sauts, calcul stochastique, option, calibration de modèle, gestion de risques

 

 

Plan prévisionnel:

 

 

- 1. Introduction: motivations pour utiliser des processus discontinus en modèlisation financière; exemples de processus de Lévy et de processus discontinus en général.

 

 

- 2. Processus de Poisson et processus de Poisson composé. Mesures aléatoires de Poisson. Fonctions caractéristiques. Simulation de processus de Poisson composés. Exemples: modèle de Kou, modèle de Merton.

 

 

- 3. Définition d'un processus de Lévy et exemples de processus de Lévy d'intensité de sauts infinie. Processus gamma et modèle variance gamma. Mesure de sauts et mesure de Lévy d'un processus de Lévy. Comportement de trajectoires: decomposition de L ́evy-Itˆo. Fonction caractéristique d'un processus de Lévy: formule de Lévy-Khintchine.

 

 

- 4. Calcul stochastique pour les processus avec sauts. Intégrales stochastiques par rapport à mesures aléatoires de Poisson. Variation quadratique et formule d'Itˆo. Relation d'isométrie pour les intégrales stochastiques. Exponentielle de Dol ́eans. Intégrales stochastiques et théorie dynamique de portefeuille.

 

 

- 5. Modèles exponentielle-Lévy. Changements de mesure pour les processus de Lévy et absence d'arbitrage dans les modèles exponentielle-Lévy. Incompletude du marché. Méthodes de couverture en marché incomplet. Couverture quadratique dans les modèles avec sauts.

 

 

- 6. Options européennes dans les modèles exp-Lévy. Evaluation d'options dans les modèles exp-Lévy par transformée de Fourier. Algorithme FFT. Contrôle d'erreurs.

 

 

- 7. Options exotiques dans les modèles exp-Lévy. Méthodes de Monte Carlo. Equations intégro-différentielles et schémas numériques associés.

 

 

- 8. Smile de volatilité implicite et calibration de modèles. Forme du smile de volatilié implicite dans les modèles exponentielle-Lévy. Calibration de modèle comme un problème inverse. Calibration par moindres carrées. Calibration directe à partir de la fonction caractéristique empirique.

 

 

- 9. Gestion de risque et calcul de mesures de risque avec processus de Lévy.

 

 

- 10. Modèles de Lévy multidimensionnels. Copules de variables aléatoires et copules de Lévy.

 

 

- 11. Limitations de modèles exponentielle-Lévy. Processus additifs. Modèles à volatilité stochastique et modèles affines.

 

 

Bibliographie:

 

 

D. Bates, Jumps and stochastic volatility: the exchange rate processes implicit in Deutschemark options, Rev. Fin. Studies, 9 (1996), pp. 69-107.

D. Belomestny and M. Reiss, Spectral calibration of exponential L ́evy models, Finance and Stochastics, 10 (2006), pp. 449-474.

P. Carr, H. Geman, D. Madan, and M. Yor, The fine structure of asset returns: An empirical investigation, Journal of Business, 75 (2002), pp. 305-332.

P. Carr, H. Geman, D. Madan, and M. Yor, Stochastic volatility for L ́evy processes, Math. Finance, 13 (2003), pp. 345-382.

P. Carr and D. Madan, Option valuation using the fast Fourier transform, J. Comput. Finance, 2 (1998), pp. 61-73.

R. Cont and P. Tankov, Financial Modelling with Jump Processes, Chapman & Hall / CRC Press, 2004.

R. Cont and P. Tankov, Non-parametric calibration of jump-diffusion option pricing models, J. Comput. Finance, 7 (2004), pp. 1-49.

R. Cont and P. Tankov, Retrieving L ́evy processes from option prices: Regularization of an ill-posed inverse problem, SIAM Journal on Control and Optimization, 45 (2006), pp. 1-25.

R. Cont and P. Tankov, Constant proportion portfolio insurance with jumps in asset prices. Working paper, 2007.

R. Cont, P. Tankov, and E. Voltchkova, Hedging with options in models with jumps. Proceedings of the 2005 Abel Symposium in Honor of Kiyosi Itˆo, 2005.

 

 

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