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Cours du QEM2 et M2 MAEF: MMMEF

 

 

Semestre 2

 

 

Crédit ECTS: 3 ECTS

 

 

Enseignant Philippe Bich

 

 

E-mail: Philippe.bich@univ-paris1.fr

 

 

Evaluation: Examen final

 

 

Présentation: Ce cours est destiné à présenter la théorie des points fixes pour les fonctions et les correspondances. Il abordera également les résultats liés comme l'existence de solution pour une inéquation variationnelle, le lemme KKM ou l'inégalité de Fan. Cette théorie mathématique est à la base des résultats d'existence d'équilibres économiques, d'équilibres de Nash dans des jeux ou encore d'éléments dans le coeur d'un jeu coopératif. Le cours apportera également une ouverture sur la question difficile du calcul de points fixes en abordant l'algorithme de Scarf.

 

 

Mots Clefs: équilibre, point fixe, degré, correspondance

 

 

Plan prévisionnel: Le cours comporte 9 séances de 2H réparties de la manière suivante:

 

 

- Séance 1: Théorème de Brouwer, lemme de non-rétraction, équivalence, extension immédiate, solution d'inéquation variationnelle.

- Séance 2: Lemme KKM, théorème de Ky Fan, Inégalité de Fan, équivalence avec le théorème de Brouwer

- Séance 3: Définition d'une correspondance, notion de continuités, opérations sur les correspondances,

- Séance 4: Sélection des correspondances s.c.i., application à l'existence d'éléments maximaux.

- Séance 5: le théorème de Kakutani et ses corollaires immédiats

- Séance 6: Théorème de surjectivité des correspondances et application au lemme KKMS

- Séance 7: Le degré topologique, définition et caractérisation

- Séance 8: Application du degré à l'existence de points fixes, le théorème de Borsuk

- Séance 9: Introduction aux méthodes numériques, lemme de Sperner et algorithme de Scarf

 

 

Bibliographie:

 

1.Berge Claude, Espaces topologiques. Fonctions multivoques, Dunod, Paris, 1966.

2.Border Kim C., Fixed Point Theorems With Applications to Economics and Game Theory, Cambridge University Press, 1990.

3.Deimling Klaus, Nonlinear Functional Analysis, Springer-Verlag, 1980.

4.Florenzano Monique, General Equilibrium Analysis : Existence and Optimality, Properties

of Equilibria, Kluwer Academic Publishers, Boston, 2003.

 

 

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